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纵观数学史，每一个里程碑式的突破，往往缺不了一个又一个天才数十年来的孤寂长跑，以及整个学界的漫长等待。费马大定理耗费了三个多世纪，庞加莱猜想几乎跨越百年。数学的进步，从来都是昂贵而缓慢的。然而，就在今天，一款AI模型仅用了相当于一台高端笔记本电脑的价格，在短时间内一口气攻破了十个长期悬而未决的前沿问题。这不再是一次渐进式的工具升级，而像是一道突如其来的闪电，照亮了从未被踏足的版图。当“极低成本”与“批量突破”同时出现，许多人开始追问：那个被科幻作家和未来学家反复谈论的“奇点”，是否已经悄然降临于人类理性的至高殿堂？
AI的“批量解谜”：一次解决十桩悬案
近日，OpenAI公布了一组震撼数学界的成果：其内部代号为“Astra”的下一代模型，在高维几何、编码理论、群论、量子计算复杂性、密码学等十个领域内，针对长期悬而未决的开放问题，给出了全新的数学结果。这绝非寻常的习题解答或竞赛通关，它直指现代数学研究最前沿的硬骨头。就这些问题中的绝大多数而言，其解决进度已经停滞了至少十年，有些甚至长达数十年没有实质性进展。
更令人惊叹的是，Astra不仅给出了论证，而且，人类研究人员随后借助同一模型将成果整理成论文，模型自身还将每一个证明都转化为Lean形式化语言，生成了可由机器严格验证的证明证书。整个过程所消耗的计算成本，按API价格估算，仅为2000美元。要知道，即便是一个小型数学研讨会，其差旅和场地费用也往往超过这个数字；而一位顶尖数学家一年的薪资，更是它的数百倍。用两千美元换取跨越十个分支的重大突破，在传统科研模式下简直是天方夜谭。
事实上，这并不是AI第一次进入数学领域。过去AI在数学领域的突破，大致经历了三个阶段：从解决已知问题，到发现未知结构，再到推进基础理论。无论是解决奥赛题，还是解决埃尔德什问题，发现雅可比猜想的反例，大多是在已有数学框架中寻找答案：面对一个明确的问题，AI寻找此前未知的证明路径，或者找到一个推翻命题的特殊情况。此次十个开放问题的突破则更进一步：AI面对的是长期悬而未决的研究问题，需要在未知空间中构造新的数学对象、建立新的证明、推进停滞许久的理论边界，并将成果纳入严格形式化验证体系。。简单来说，过去AI更像是在数学家绘制好的地图上寻找道路，而这一次，它开始尝试进入没有地图的区域，从“解决数学问题”走向“参与建立数学理论”。更重要的是，这些结果还经过Lean等形式化证明系统验证，使AI产生的成果能够真正进入严格的数学体系。
从“堆橙子”到“后量子密码”：这些难题为何重要？
这十个问题分别是高维球堆积问题、二元编码和球面编码问题、非sofic群存在性问题、Connes刚性猜想、算术电路复杂性问题、量子游戏并行重复问题、最近向量问题（密码学相关）、Ehrhart体积猜想、多色Ramsey数问题和极值图论猜想。
术语虽然晦涩，背后的追问却关乎人类认知的底层逻辑：我们如何理解高维空间？如何可靠地传递信息？计算的终极边界在哪里？不妨从几个最具代表性的问题出发，一窥其分量。
第一个问题是高维空间里的“堆橙子”问题，源头可以追溯到开普勒在17世纪关于炮弹堆叠的猜想：三维空间中，面心立方堆积最密。这一猜想直到1998年才由计算机辅助证明。但当维度提升到四维、十维甚至更高时，问题变得极其困难，因为高维几何的直觉往往失灵。然而，高维球堆积并非纯智识游戏：它直接关乎信息论中信道编码的效率，以及现代通信中信号星座图的设计。Astra这次给出了高维球堆积密度的新上界，逼近了著名的线性规划界，这是该领域自1978年以来首次迎来重大改进，相当于为“高维宇宙能塞进多少信息”这个根本问题划出了一条更精准的边界。
编码理论则与每个人的日常生活紧密相连。你用手机发送一张照片，电磁噪声随时可能篡改数据，但接收端仍能完美还原，靠的就是纠错码。香农在1948年奠定了信息论的基础，但工程上一直存在这个问题：在给定的冗余度和纠错能力之下，理论上的最大信息率是多少？Astra在二进制码和球面码的最大规模上实现了指数级的界限提升。这意味着在未来的6G网络、卫星通信甚至星际探测中，我们有望以更少的能量传递更多信息，而这个突破的数学根源，正来自AI的这次探索。
非sofic群的概念可能最为抽象，但它触及了数学的核心概念：对称。一个正方形或平移，或旋转，但依然不变，这些操作构成的代数结构就是“群”。群论贯穿几何、拓扑、量子物理乃至密码学。数学家在上世纪九十年代提出，是否每个群都能由有限图来近似描述？数学家称其为“sofic性”。如今，Astra通过构造全新的数学对象，明确证明了“非sofic群”的存在，从而彻底回答了这个问题。值得注意的是，它构造的并非已知范例，而是此前从未被人类记录过的结构，这一点恰恰是“发现”而非“计算”的明证。
除此之外，Astra还推翻了Connes刚性猜想，在算术电路复杂性上给出了新的下界，将量子并行重复定理从经典情境拓展到了量子情境，并在与后量子密码学密切相关的最近向量问题上证明了其近似难度。它甚至还解决了传奇数学家保罗·埃尔德什生前留下的三个组合数学问题。这些成果散布于纯数学和应用数学的多条支流，却由一个模型同时捕获，这本身就是一个值得深思的现象。
成本两千美元：一个值得深思的奇点时刻
如果说一口气攻克十个难题这件事本身足够震撼，那么2000美元的成本则指向一个更深刻的转折。两千美元能做什么？在顶尖大学，可能不够支付一个博士生半年的津贴；对于传统的数学研究，甚至不足以支撑一次稍复杂的数值计算实验，购买一台像样的工作站就要翻上几倍。但Astra用这笔小钱完成了跨越十个数学分支、累计数十年未能突破的探索。
我们不妨将这笔成本与人类数学研究的常规投入做个对比：一个中等规模的数学研究项目，仅人力成本每年就需数十万美元；一场国际学术会议的组织费用更是动辄数万。而AI模型在短短几小时内完成的计算和推理，如果换算成人类数学家的工作量，恐怕是成百上千年的思维劳动。更关键的是，这个成本正在以指数级下降。过去几年，训练同样能力的大模型的成本已降了数个量级；如果这一趋势延续，未来每个数学研究生都能负担起“召唤AI搭档”的费用，那么数学发现的“通货膨胀”将彻底改写科研生态。
如此低廉的成本，意味着这种“AI驱动的研究范式”不再昂贵，已经具备了规模化复制的可能性。或许这才是真正的“奇点时刻”：当一项足以改变学科进程的智力劳动，其边际成本趋近于零时，知识发现的范式本身将被彻底改写。我们无需再问AI能不能做数学，应该开始思考：当AI能以极低成本持续产出高水平数学成果，如何重新定义人类数学家的角色？是成为“猜想提出者”，还是“结果审判官”，抑或是“AI训练师”？所有这些问题，都在2000美元这个数字面前变得真实而紧迫。
Lean：为AI的数学直觉装上逻辑保险
当然，数学对严谨性的要求近乎苛刻。科学论文中的实验误差或许可以容忍，但数学证明中一个微小的逻辑漏洞，就足以让整座理论大厦崩塌。这也是过去AI在数学领域备受质疑的根源，大语言模型擅长生成“看起来像证明”的文字，却常常在关键步骤上露出马脚，比如偷偷引入未说明的假设，或者跳过不可忽略的中间推理。人类审稿人有时也难以分辨，因为AI生成的文本往往流畅而自信。
这次突破的一个关键，正是引入了Lean形式化证明系统。你可以把它想象成数学证明领域的“编译器”，程序员写的代码需要编译器检查语法错误，而Lean则能逐行验证数学证明的每一个逻辑步骤，从最基本的公理出发，一步步推导到结论。人类数学家笔下那个轻飘飘的“显然，由此可得”，在Lean的世界里并不存在，每一步都必须有据可循，否则系统直接拒绝。过去，将一篇数学论文形式化需要耗费数月甚至数年的手工编码；但Astra能够直接生成Lean可接受的证明脚本，这本身就是一项惊人的技术成就。
Astra生成的所有证明都通过了Lean的形式化验证，意味着它的正确性已由机器严格担保。为AI的“直觉”装上了一道可靠的逻辑保险。此事也展示了形式化验证与AI之间的正向循环：AI提供创造性的思路，Lean负责检验其可靠性；人类数学家则从中解放出来，专注于更深层的理解和方向判断。这种“创造—验证—再创造”的闭环，正是可能变成未来常态的数学研究模式。
AI是工具，还是伙伴？
那么，AI究竟是在“发现”数学，还是在做一次高级搜索？乐观者认为，能够发现新结构、提出新证明并推动学科前进的系统，已经承担了以往只有人类研究者才能完成的工作。从望远镜到显微镜再到计算机，人类一直在借助工具拓展认知的边界，AI只是这个序列中的最新一环。但工具与伙伴的区别在于：工具被动执行指令，伙伴则主动参与探索并给出意想不到的建议。Astra在几个问题上的解法路径，据参与整理的人类数学家反馈，并不是任何已知文献中的常规套路，这就意味着它确实在“另辟蹊径”，而不只是机械组合已有定理。
审慎的声音同样存在：数学家的核心能力远不止于证明，提出“值得证明”的问题、判断一个方向的价值、感受一个结构的“优美”，这些依赖于经验、直觉、审美和长期积累的判断力，目前仍是AI难以企及的。例如，Astra并未主动选择去研究哪些问题；是OpenAI的研究团队从众多开放问题中筛选了这十个。因此，至少在现阶段，AI更像一个不知疲倦的探索引擎，它的输出需要人类来解读、评价并决定下一步的方向。
或许，未来最强大的数学研究团队不再由清一色的顶尖人脑构成，而成了人工智能和人类智能的混合共生体。
结语
数学，这座曾经最没可能被机器侵入的理性圣殿，如今正敞开大门，迎接一位不请自来的新访客，它的名字叫人工智能，它的入场券，目前仅需两千美元，很可能还会降价。
当一个模型能用区区2000美元，去触碰人类顶尖头脑数十年未能企及的高度，并且一口气交出十份沉甸甸的答卷时，我们谈论的早已不是“工具”，而是“伙伴”，更准确地说，是数学这门古老学科进入“奇点时代”的第一声号角。这个号角吹得如此廉价且高效，以至于我们不得不重新审视这个问题：未来最伟大的数学发现，是否将诞生于硅基与碳基思维的共舞之中？
参考文献
https://openai.com/index/ten-advances-in-mathematics/
来源|心智观察所
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